Bagozzi i Dholakia [BagozziDholakia2006] stosują następującą procedurę ustalania trafności różnicowej (discriminant validity) skali wieloczynnikowej: 1) oszacowanie bazowego modelu CFA (swobodnie korelujące ze sobą czynniki); 2) oszacowanie ograniczonego modelu CFA, tj. modelu w którym korelacja pomiędzy dwoma czynnikami skali jest ustalona jako równa 1 (co oznacza, że czynniki te de facto stanowią jeden czynnik). Oszacowanie modelu ograniczonego dla każdej pary czynników skali; 3) ustalenie czy wartość różnicy statystyk χ² jest istotna statystycznie.

Istotność statystyki χ² świadczy iż jakość dopasowania modelu ograniczonego (krok 2) jest istotnie gorsza od modelu bazowego (krok 1), a zatem korelacja pomiędzy parą czynników jest mniejsza od 1, czyli czynniki te się różnią... Trafność dyskryminacyjna skali jest potwierdzona jeżeli wszystkie (a przynajmniej zdecydowana większość) wartości różnic są istotne statystycznie.

Jeżeli skala składa się z n czynników, to należy oszacować (n (n-1))/2 modeli ograniczonych (np. dla n=6, jest to 15 modeli), co jest pracochłonne. Skrypt LISRELa dla modelu CFA oraz modelu ograniczonego różni się zaś od modelu bazowego tylko jednym wierszem:

VA 1 PHI(i,j)

gdzie i oraz j są numerami odpowiednich czynników. Można to wszystko zautomatyzować, w sposób następujący: 1) oblicz model bazowy; z pliku OUT Lisrela pobierz wartość statystyki χ²; 2) w pętli dla każdej pary i,j wykonaj skrypt wyznaczający model ograniczony, pobierz wartość statystyki χ²; 3) oblicz różnicę i wydrukuj...

Skrypt Perlowy wykonujący powyższe (z przykładem wykorzystania) jest tutaj.

Literatura

BagozziDholakia2006

Bagozzi, R. P., Dholakia, U. M. Open Source Software User Communities: A Study Of Participation In Linux User Groups Management Science 7/52, 2006, p. 1099--1115.

Zaproponowane przez Fornella i Larckera [HairetAl98,FornellLarcker81] rzetelność łączna (composite reliability, CR) oraz przeciętna wariancja wyodrębniona (average variance extracted, AVE) stały się często wykorzystywanymi miarami rzetelności wewnętrznej oraz trafności zbieżnej. CR obliczana jest według następującej formuły [por. także zencaroline.blogspot.com/2007/06/composite-reliability]:

CR_η = (∑_i λ_ηi )² / ( (∑_i λ_ηi )² + ∑_i var(ε_i))

gdzie: var(ε_i) = 1 - (λ_ηi²); λ_ηi to wektor (zestandaryzowanych) ładunków czynnikowych dla zmiennej ukrytej η.

Minimalną akceptowaną wartością CR jest 0,7

Podobny do CR jest wskaźnik przeciętnej wariancji wyodrębnionej (average variance extracted, AVE), służący do oceny trafności zbieżnej (convergent validity). Jest on obliczany według następującej formuły:

AVE_η = (∑_i (λ_ηi )² ) / ( ∑_i (λ_ηi)² + ∑_i var(ε_i) )

Znaczenie symboli jest identyczne, jak we wzorze określającym rzetelność łączną. Minimalną akceptowaną wartością AVE jest 0,5.

Znając zestandaryzowane wartości ładunków czynnikowych λ_ηi policzenie CR oraz AVE jest proste. Dodanie opcji SC (completely standardized solutions) do polecenia OUTPUT spowoduje wydrukowanie zestandaryzowanych wartości ładunków czynnikowych. Poniższy skrypt obliczy na tej podstawie CR/AVE dla każdej zmiennej ukrytej:

#!/usr/bin/perl
# Computes/prints Composite Reliability (CR) and Average Variance Extracted (AVE)
# from LISREL OUT file. Measures can load on several factors
#
# (c) 2010; t.przechlewski http://pinkaccordions.homelinux.org/staff/tp/
# GPL license
# 
# The formulas for CR and AVE are as follows [cf. Hair, Anderson, Tatham and Black, Multivariate Data Analysis, 5th Ed., Pearson Education, p. 637]:
# CR = (\sum standardized loading)^2 / (  (\sum standardized loading)^2 + \sum  indicator measurement error ), 
# AVE = (\sum (standardized loading)^2 ) / ( \sum (standardized loading)^2  + \sum indicator measurement error ) 
#    where: indicator measurement error  = 1 - loading^2
# see also: http://zencaroline.blogspot.com/2007/06/composite-reliability.html
#
# usage: perl print_cr_and_ave lisrel-output-file
#
my $scan = 0; ## flag to figure out where we are
my $initial_latent_var_no = 0;

while (<>) {
 chomp;

 # We are looking for the line with `Completely Standardized Solution' (CSS), which
 # starts the block containing relevant data
 if (/Completely Standardized Solution/) { $scan = 1 ;
     print STDERR "*** Found *** $_ ***\n";  next ; }

 # After CSS line we look the line with LAMBDA-* (there are up to two such lines)
 if ( $scan > 0 && /LAMBDA-[XY]/ ) {  $scan++;

    print STDERR "*** Found *** $_ (initial: $initial_latent_var_no) ***\n";

    $_ = <> ; $_ = <> ; $_ = <> ; ## eat exactly next three lines

    ## ok we are about to scan LAMBDA-X/Y matrix
    while (<>) { chomp;

          if (/^[ \t]*$/) { # exmpty line ends LAMBDA-X/Y matrix
            ## before reading next block store the number of latent vars from the 1st block
            ## first latent var number in the second block = number of vars in the previous block +1
            $initial_latent_var_no += $#loadings;

            print STDERR "*** Initial var number = $initial_latent_var_no ***\n";
            last ; ## OK, all rows in matrix was read...
          }

          s/- -/xxx/g; # change `- -' to `xxx'
          @loadings = split ' ', $_;

          # column number = latent var number ; column `0' contains measurement variable name
          for ($l=1; $l <= $#loadings; $l++) {
              if ($loadings[$l] !~ /xxx/) { ## store in hash
                  $Loadings{$l + $initial_latent_var_no }{$loadings[0]} = $loadings[$l];
              }
          }

      }
  }
}

print STDERR "*** Latent variables = $initial_latent_var_no ***\n";

print "=======================================================\n";

###  Compute/print CR i AVE ### ### ### ###

    for $l (sort keys %Loadings ) {
       $loadings = $sqloadings = $errors = 0;

       print STDERR "*** Xi/Eta: $l ***\n";

       for $m ( sort  keys %{ $Loadings{ $l }} ) {
         $load = $Loadings{$l}{$m};

         print STDERR "$m ($l) = $load\n";

         $loadings += $load ;
         $sqloadings += $load * $load ;
         $errors += (1 - $load * $load);
       }

       $cr = ($loadings * $loadings) / ( ($loadings * $loadings) +  $errors ) ;
       $ave = $sqloadings / ($sqloadings + $errors ) ;

       printf "Xi/Eta_%2d -> CR = %6.3f AVE = %6.3f\n", $l, $cr, $ave;

    }

print "=======================================================\n";

Skrypt można także pobrać tutaj.

Literatura

FornellLarcker81

Fornell, C. i Larcker, D. F. (1981). Evaluating structural equation models with unobservable variables and measurement error. Journal of Marketing Research, 18(1):39--50.

HairetAl98

Hair, J. F., Black, B., Anderson, R. E., i Tatham, R. L. (1998). Multivariate Data Analysis. Prentice Hall.